Matekházi segítség kellene?

Szívesen segítek, de tisztázzuk, hogy mi is a feladat:

[link]

Az első itt van számolással és grafikusan is:

[link]

Kész van a második is: (ahogy én gondolom)

[link]

x+y = 8

√x + √y = √(xy)

Érdemes bevezetni két új változót: a=√x, b=√y, mindkettő pozitív.

a²+b² = 8

a+b = ab

Ez elvileg egyszerűen megoldható normál módon, tehát egyikből kifejezzük az egyik ismeretlent és beírjuk a másikba, de úgy egy negyedfokú egyenlet jön ki. Érdemes kicsit inkább trükközni.

a²+b² = 8

2ab = 2(a+b)

Adjuk össze ezt a két egyenletet, ez lesz belőle:

a²+b²+2ab = 8 + 2(a+b)

(a+b)² = 8+2(a+b)

Érdemes még egy új változót bevezetni: z=a+b

z² = 8 + 2z

z²-2z-8 = 0

Megoldásai a megoldóképlettel: z₁=4, z₂=-2

Mivel a és b is pozitív, z-nek is annak kell lennie, tehát csak a z=4 a megoldás.

Nincs tovább szükségünk a z-re:

a+b = 4

a²+b² = 8

Ezt már érdemes simán megoldani: Az elsőből kifejezzük a-t:

a = 4-b

Behelyettesítjük a másodikba:

(4-b)² + b² = 8

16-8b+2b² = 8

2b²-8b+8 = 0

b²-4b+4 = 0

Ennek egy megoldása van, b=2 (hisz ez a (b-2)²=0 egyenlet)

a=4-b miatt a=2

És mivel √x=a, √y=b, ezért a megoldás:

x=4, y=4