Letudná vezetni valaki? bizonyícsd be hogy az A (7;-2) B (8;-5) C (3;-10) D (6;-1) egy körön vannak. írd fel az ABCDponton átmenő kör egyenletét.

Én inkább először felírom valamelyik 3 ponton átmenő kör egyenletét, aztán megnézem, hogy a negyedik pont is rajta van-e a körön:

A kör egyenlete általános esetben:

(x-x₀)² + (y-y₀)² = r²

Ezt kielégíti mondjuk az A, B és C pont is:

(7-x₀)² + (-2-y₀)² = r²

(8-x₀)² + (-5-y₀)² = r²

(3-x₀)² + (-10-y₀)² = r²

Oldjuk meg:

Az r²-től meg lehet szabadulni kapásból:

  (7-x₀)² + (-2-y₀)² = (8-x₀)² + (-5-y₀)²

  (7-x₀)² + (-2-y₀)² = (3-x₀)² + (-10-y₀)²

Kifejtve:

  49 - 14x₀ + x₀² + 4 + 4y₀ + y₀² = 64 - 16x₀ + x₀² + 25 + 10y₀ + y₀²

  49 - 14x₀ + x₀² + 4 + 4y₀ + y₀² = 9 - 6x₀ + x₀² + 100 + 20y₀ + y₀²

A négyzetes tagok szerencsére kiesnek:

  53 - 14x₀ + 4y₀ = 89 - 16x₀ + 10y₀

  53 - 14x₀ + 4y₀ = 109 - 6x₀ + 20y₀

Összevonva amit lehet:

  2x₀ - 6y₀ = 36

  -8x₀ - 16y₀ = 56

Egyszerűsítve mindkettőt:

  x₀ - 3y₀ = 18

  -x₀ - 2y₀ = 7

A két egyenlet összege:

  -5y₀ = 25       → y₀ = -5

Visszahelyettesítve y₀ értékét:

  -x₀ + 10 = 7  → x₀ = 3

Az r pedig:

  (7-3)² + (-2-(-5))² = r²

  16+9 = r²

  r = 5

Vagyis a kör egyenlete: (x-3)² + (y+5)² = 5²

Még ellenőrizni kell, hogy a D(6;-1) pont rajta van-e?

(6-3)² + (-1+5)² = 5²

3² + 4² = 5²

Ez valóban így van, tehát mind a 4 pont rajta van a körön.

Ugyanazt tudom mondani:

[link]

Egy kicsit más megoldás:

Addig ugyanaz, hogy kiböksz közűlük 3 pontot és felírod a 3 ponton átmenő kör egyenletét, az jó lesz a negyediknek is.

1) a kör középpontja rajta van az AB felezőmerőlegesén is meg a BC felezőmerőlegesén is.

Ezeknek az egyenlete:

y = 1/3 * x -6

y = -x - 2

ezek metszéspontja:

(3,-5)

2) A (3,-5) pont távolsága könnyen ellenőrizhetően ugyanaz mind a négy ponttól: 5.

Vagyis a kör egyenlete:

(x-3)²+(y+5)² = 25