2 feladat komplex számokkal?

1 feladatról. Értelmezésem szerint az egyik négyzetgyök megegyezését kívánják a valahányadik ötödik gyökkel. Az egyikből kettő van, a másikból öt darab. Ha ránézel az n-edik gyök exponenciális alakjára, szerepel a R^(1/n) alak ahol R az adott komplex szám abszolút értéke. Tehát R^(1/2)=R^(1/5), de ez csak R=1 és R=0 esetén igaz. z=0 és z=1 megoldások szóba jöhetnek. Tovább keresgélve az egységgyökök között rájöhetsz, hogy nincs több megoldás.

Tehát a megoldás kanonikus alakjai z1=0+oi és z2=1+0i.

Sz. Gy.

"Tovább keresgélve az egységgyökök között rájöhetsz, hogy nincs több megoldás." Sajnos hamis az állítás, mert 2x5 azaz 10 darab egyenletet kell vizsgálni a fázisszögekre.

Bevezetve r(fi, k, n) := e^(i(fi/n + 2·k·pi/n)) jelölést, ellenpéldaként vizsgálva z=-1/2+gyök(3)i/2 komplex számot adódik,

hogy r(2*pi/3, 1,2)=r(2*pi/3, 3,5)=-1/2-gyök(3)i/2, vagyis a második négyzetgyök és a harmadik ötödik gyök azonos.

Ezt a 10 egyenletet kellene hatékonyabban és nem egyenként megvizsgálni, hogy a kérdésre pontos választ tudjunk adni. Sz. Gy.

2. feladat megoldása. Egységgyökök ilyen alakúak: cos(2k*pi/n)+i*sin(2k*pi/n). Léteznie kell <n,p,q> egészekből álló számhármas, hogy

cos(2p*pi/n)-cos(2q*pi/n)=1. (Egyik a bal oldali félkörön a másik a jobb oldali félkörön van.)Például n=6 p=1 q=2 esetén

COS(2·1·pi/6)-COS(2·2·pi/6)=1/2+1/2=1. Sz. Gy.