Egy olyan számot keresek aminek a fele négyzetszám, a negyede egy szám negyedik hatvány?

Ha egésznek kell lennie, mind a "négyzetszámnak", mind a "negyedik hatványnak", akkor nem létezik ilyen szám.

Itt az a kérdés, hogy:

Legyen a keresett szám x.

Ekkor az elsőből következik, hogy (x/2)(1/2)-ennek is egésznek kell lennie és a másodikból pedig, hogy az (x/4)(1/4)-ennek is egésznek kell lennie. ez a kettő feltétel nem teljesül egyszerre soha.

Ha viszont nem kell egésznek lennie ezeknek, akkor végtelen ilyen szám van.

Bár gondolom, hogy a négyzetszám és a valaminek a negyedik hatványa azt jelzi, hogy egész számnak kell lennie annak is, aminek a negyedik hatványa.

Triviális megoldás: 0

Ha nem triviális megoldást keresünk, akkor legyen a keresett szám x, ekkor gyök(x/2) és negyedikgyök(x/4) is egész. x/2 gyöke csak akkor lehet egész, hogyha x prímtényezős alakjában minden prímtényező páros hatványon van, kivéve a 2-t, annak páratlan hatványon kell szerepelnie. x/4 4. gyöke pedig akkor lesz egész, hogyha a prímtényezők kitevője 4-gyel osztható, viszont 2 kitevőjének 4-es maradéka 2 kell, hogy legyen.

Az első esetben 2 kitevője minden esetben páratlan, a második esetben pedig páros (ha egy szám 4-es maradéka 2, az csak páros lehet), ez pedig nem teljesülhet egyszerre, tehát nemtriviális megoldása nincs a feladatnak.

(Az ilyen feladatokat legtöbb esetben az egész számok halmazán szoktuk vizsgálni.)