Mi történik ebben a rövid, de bonyolult matek feladatban?

Határérték számítás:

Ha az eredeti feladatba beírod 'n' helyére a végtelent, akkor ugye látszik, hogy a nevező nagyobb lesz, mint a számláló, a hatványkitevő szintén nagyobb, mint 1, ezért az egész tört tartana a 0-hoz. De lehet, hogy van ennél egy nagyobb szám, ezért kell alakítgatni a törtet.

Vannak ugye nevezetes határértékek, amiket illik tudni. Ilyen a limes(n->végtelen) esetén az (1+(a/n))^n, aminek határértéke 'e'. Az eredeti feladat is hasonlít az ilyen alakra, ezért ilyenkor célszerű különböző trükkökkel hasonló alakra hozni. Emellett még ugye szét is lett szedve egy szorzatra a tört, mivel középsuliból derenghet az a szabály, miszerint a^(b+c)=(a^b)*(a^c). Itt ugyanez történik azzal kiegészítva, hogy a^(b*c)=a^b^c. Szóval, ha kicsit átláthatatlan így, hogy egy lépésben sok mindent csinál, akkor először az előbbi két szabályt használd, így máris van egy szorzatod.

A szorzat bal oldalából ugye ha mind a nevezőben mind a számlálóban kiemelsz 'n'-et, akkor máris hasonló alakot kaptál, mint amit említettem, (1+(1/n))^n, aminek határtéke 'e'. Szóval ott kiemelsz 'n'-et, és a számlálóban marad (1+(-7/n)) és NEM (1+(-7/11)), a nevező pedig már jó. Ugye ezután az 'n'-ekkel lehet egyszerűsíteni, a magyarázat kb matek 5. osztály, abban nincs bonyolult.

A (1+(1/n))^n nevezetes határték levezetése szerint ha nem pont ilyen alakra hozod, hanem a benne lévő tört számlálójában nem 1 hanem akármilyen szám szerepel, akkor így alakul:

(1+(x/n))^n határértéke n->végtelen esetén e^x

Ezért marad ott a legalsó sorban (e^-7)/(e^3).

Visszatérve a szorzat jobb oldalára: Itt mind a számlálóban mind a nevezőben amikket leosztod a -7et és a 3-at, azok nem 11-ek, hanem 'n'-ek, mivel azzal emeltél ki, majd szintén kiemelted belőlük ugye az 'n'-et, amivel aztán ugyanúgy leegyszerűsítettél, mint korábban. Így aztán marad a számlálódban (1+(-7/n)) a neveződben pedig (1+(3/n)), és az egész a 11-edik hatványon. Ugye itt az egész nem nevezetes határték, mert ezek nem az 'n'-edik hatványon vannak, hanem a 11-ediken, ezért itt 'n' helyére behelyettesíted a végtelent, és ugye -7/végtelen tart a 0-ba, 3/végtelen szintén tart a nullába, és marad (1/1)^11, ami ugye 1.

Tehát az eredeti szorzatod jobb oldala 1, a bal oldala maradt [(e^-7)/(e^3)]^2, vagyis (e^-14)/(e^6), ami egyenlő e^(14-6)=e^(-20)

Így érted?