Helyes a bizonyítás?

Nem az.

Felteszed az elején, hogy b<=a, ebből helyesen kijön az, hogy

[(a+b)/2]^n<=a^n

De mivel b<=a volt, ezért nem írhatod oda, hogy a<=b.

Nem használhatod ki azt, hogy b<=a és azt is a<=b a kettő együtt csak akkor igaz, ha a=b.

(a+b)/2 >= b

Emiatt

[(a+b)/2]^n >= b^n

Egy igaz egyenlőtlenséget összeadsz egy hamissal így a bizonyítás többi része értelmetlen.

n=1: (a+b)^1\leq 2^{1-1}(a^1+b^1)

a+b\leq a+b

n=k-ból k+1?

(a+b)^{k+1}\leq 2^{k+1-1}(a^{k+1}+b^{k+1})

Osszad le a+b-vel. Jobb oldalon lesz egy csomó szirszar, de benne lesz az a^k+b^k, a kettőhatványt dolgozd meg kicsit, és megkapod az n=k esetet.