Hogyan lehet bizonyítani?

Definíció szerint átírható n!/(8!*(n-8)!) alakra. Ha ezt egyszerűsítjük, ezt kapjuk:

n*(n-1)*...*(n-7)/8!

Mivel a számlálóban lévő szorzat 8, egymást követő egész számból áll, ezért a számlálóban mindig lesz olyan szám, amelyik osztható 8;7;6;5;4;3;2;1 számokkal. Akárhogy is, az eredmény egy 8 tényezős szorzat lesz, ami csak úgy lehetne prímszám, hogyha pontosan 7 tényezője 1, a 8. pedig prímszám, viszont 7 darab 1-es szorzó nem kivitelezhető, mivel akkor a 8;7;6;5;4;3;2;1 számoknak kellene konkrétan szerepelniük a számlálóban, más esetben esély sincs arra, hogy prímszámot kapjunk. Ha mégis ezek lennének, akkor pedig a hányados 1, ami pedig szintén nem prímszám.

Akkor pontosítok; minden nevezőbeli szám párosítható úgy minden számlálóbeli számmal, hogy mindenkinek pontosan 1 párja lesz, és a nevezőben lévő szám osztója a számlálóban lévő párjával.

Remélem így jó lesz, és nem lesz megint belekötve. Azonban érdekelne, hogy ebben a formában sem lesz-e igaz, és ha nem, akkor miért nem.

Tudom, hogy már rég volt kérdés, de hátha valakinek mégis segítséget nyújt a jövőben.

Nézzük, mi történik teljes indukcióval;

n=8-ra (8 alatt a 8)=1, nem prím.

n=9-re (9 alatt a 8)=9, nem prím.

n=10-re (10 alatt a 8)=45, nem prím.

n=11-re (11 alatt a 8)=165, nem prím.

n=12-re (12 alatt a 8)=495, ez sem prím.

Vegyük észre, hogy n>=9-től mindegyik osztható 3-mal. Lehet, hogy véletlen egybeesés, majd kiderül.

Tehát próbáljuk meg azt bebizonyítani, hogy ha n>=9 egész, akkor 3|(n alatt a 8).

Tegyük fel, hogy n=k-ra igaz, nézzük meg (k+1)-re:

3|?(k+1 alatt a 8)

Írjuk át definíció szerint:

(k+1 alatt a 8) = (k+1)!/(8!*(k-7)!), ebből hozzuk ki valahogy (k alatt a 8)-at:

(k+1)*(k-8) * k!/(8!*(k-8)!) = (k+1)*(k-8) * (k alatt a 8)

Az indukciós feltevés szerint a második tényező osztható 3-mal, tehát az egész osztható 3-mal. Nyilván a (k+1)*(k-8) értéke mindenképp egész, értéke legalább (9+1)*(9-8)=10, ez tovább szorozva egy pozitív egész számmal biztosan több lesz 10-nél, tehát a szorzat értéke semmiképp nem lehet 3, már pedig ezen kívül minden 3-mal osztható egész szám összetett szám.

Tehát ha n>=9, akkor az (n alatt a 8) értéke egy összetett egész szám. Ahogy láttuk, n=8 esetén az érték 1, ami szintén nem egész szám.

Olyannal is találkoztam már, hogy ha az (n alatt a k) alakú számban 0<=n<k egészek vannak (tehát a felső szám kisebb az alsónál), akkor annak az értéke mindig 0. Nem tudom, hogy ez mennyire van definiálva a matematika keretein belül, de van, ahol ez használatos. Akárhogy is, ha ezt is megengedjük, akkor az érték 0, ami szintén nem prím.

Lehet, hogy van másik megoldási mód is, én ezt találtam.