Valaki segítene? Matekról van szó.

Mivel nem ismerem azt az elméletet, amivel ezeket a kérdéseket meg lehetne oldani, ezért kénytelen voltam visszamenni a gyökerekig: azokig az időkig, amikor a matematika még nem ,,könyvben megnézhető'' levezetések rendszere volt, hanem még csak a kísérleti tapasztalatok lassú legtisztulása, a természeti jelenségek elméletté való fokozatos átszűrődése.

Szóval a feladatot most afféle ,,természeti jelenségnek'' tekintettem, amit egyelőre csak ,,alázattal'' megfigyelni lehet, még anélkül, hogy közvetlenül valami eleve meglévő elmélethez próbáltam volna hozzákötni. Elvégre mindaz, ami ma a könyvben van, valaha valamikor szintén átment ezen a szakaszon, végtére is a matematika végső soron a megfigyelésből ered (amit persze később elvonatkoztatás és elméletgyártás követ).

Szóval egyelőre csak kísérletezgettem és babrálgattam, anélkül, hogy egyelőre prontos elméletet és levezetéseket tudnék mondani.

,,Műszert'' is építettem a vizsgálatokra. Ez volt a legfontosabbb: hogy egyáltalán ábrázolni tudjam a feladatot, hogy egyáltalán legyen MIVEL kísérletezni.

[link]

Ezt a négyhalmazos Venn diagrammot lemásoltam egy kockás füzetbe, jó nagy ábrával, elővettem tíz lencseszemet (minden egyes lencseszem 10-10 gyereket képviselt), és megindulhatott a kísérletezés: a lecseszemek ,,szétosztása'' az egyes halmazok között, úgy, hogy minden egyes halmazba az őt megillető számú ,,létszám'' kerüljön. (Persze ha nem pont tízesével oszlanak meg a gyerekek, az pech, de hát optimista voltam.)

Most leírok mindent jelekkel. Ugyebár a feladat az, hogy

|F₁ ∪ F₂ ∪ F₃ ∪ F₄| = 100

|F₁| = 90

|F₂| = 80

|F₃| = 70

|F₄| = 60

F₁ ∩ F₂ ∩ F₃ ∩ F₄ = ∅

|F₃ ∪ F₄| = ?

Hát ezt a feltételrendszert ábrázoltam a Venn-digrammal és a lencsékkel. Úgy fogtam fel az egészet, mint egy fizikai kísérletet. Sokféle elrendezésbe belekezdtem, ide-oda tologattam az egyes lencseszemeket a halmazok (illetve azok egymással alkotott metszetei) között. És persze a szabályok átnézése során a legtöbb elrendezési próbálkozásom végül ,,szabályellenesnek'' bizonyult. Megpróbáltam megfigyelni, milyen ,,lépések'' vezethetnek a ,,nagyon rossz'' elrendezésektől a ,,kevésbé rossznak'' tűnő elrendezésekig, és megpróbáltam végül ,,jó'' elrendezéshez eljutni. A munka során átélt élményeimet, a sikerek és kudarcok tapasztalatait megpróbáltam szabályokba önteni.

Sajnos világosan megfogalmazható törvényszerűsűgek kikristályosításáig nem tudtam még eljutni. Azonban egy-két érzésem mégiscsak támadt, ezt próbálom most afféle fzikai hasonlatokkal elmondani.

Már maga az első feladat (90 fő) és a második feladat (80 fő) is olyan, hogy szinte önmagukban is felölelik majdnem az összes gyereket. A a másik két feladat is az összlétszám több mint felét képviseli, külön.külön önmagában is (70 fő, 60 fő). Láthatjuk tehát, hogy az eloszlás igencsak ,,feszített''. Ha nem tesszük a lencséket lehetőleg olyan ,,kereszteződésekbe'', metszetekbe, ahol lehetőleg minél több halmaz metszi egymást, akkor nem tudjuk ,,kiosztani'' lencséket : egész egyszerűen ,,kifutunk a létszámból''.

A kísérletezés során az derült ki, hogy a lencsék ,,oda szeretnek menni'', ahol ,,sok halmaz'' ,,metszi egymást''. Sőt, egyelőre csak olyan megoldást találtam, ahol minden lencse végül olyan csupa helyekre vándorolt, ahol egyszerre három halmaz is metszette egymást.

Mintha a halmazok valmiféle mágneses vagy elektromos vonzerővel töltott lemezek lettek volna, a lencsék pedig vasdarabok (vagy bodzabélgolyók), amiket az egyes lemezek mágneses (elektromos) ereje vonz. És azokon a pontokon, ahol ,,átfedik'' egymást ezek az ,,elektromosan töltött'' ,,lemezek'', ott a ,,vonzerő'' ,, fokozottan'' érvényesül, és több lencsét ,,húz magához''.

Az egyik megoldás, (az egyetlen, ami egyelőre kijött nekem), alább látható. Szóval a kísérletezgetés során egyetlenegyszer sikerült találnom olyan elrendezést, ami minden feltételnek megfelelt. Íme:

|F₁ ∩ F₂ ∩ F₃| = 40

|F₁ ∩ F₂ ∩ F₄| = 30

|F₁ ∩ F₃ ∩ F₄| = 20

|F₂ ∩ F₃ ∩ F₄| = 10

A többi lehetséges ,,metszet'' üresen maradt. Tehát kizárólag a ,,háromszoros'' metszetek voltak képesek magukhoz vonzani egynél több lencseszemet. Az is érdekes, hogy a háromszoros metszetek közül épp ,,legnagyobb súlyú'' halmazokból összeválogatott F₁ ∩ F₂ ∩ F₃ metszet ,,vonzotta magához'' a legtöbb lencseszemet (4-et), és épp a ,,legkisebb súlyú'' halmazokból összeválogatott F₁ ∩ F₂ ∩ F₃ metszet ,,vonzotta magához'' a legkevesebb lencseszemet (1-et).

Tehát olyan, mintha a halmazok afféle elektromos töltéssel rendeljekező lemezek lennének, az ,,egymás fölé'' érő lemezrészek töltése egymást erősítően hantna, és ebben a ,,kötélhúzásban'' a legnagyobb ,,,töltésű'' részek ,,vonzanák magukhoz'' a legtöbb lencseszemet. A kis ,,össztöltésű'' háromszoros metszetek kevesebbet húztak magukhoz, a ,,csupán'' kétszeres meg egyszeres metszetekre pedig már seemi nem jutott.

Persze, mivel a szabályokat nem tudtam még kikristályosítani, így nem mondhatom, hogy ez lenne az egyelten megodás. Ha esetleg mégiscsak vannak valami sabályok, és az összes lehetséges megoldás ez, vagy legalábis ehhez hasolnó, akkor valószínűleg elmondhatjuk, hogy

|F₃ ∪ F₄| = 100

vagyis hogy minden gyerek nyer díjat. Azonban még nem tudom ezt bizonyítani (mégis úgy sejtem, mégis igaz, mert valahogy nagyon ,,feszítetten'' oszlanak meg a lencsék).

Egy félreértésemet mindenesetre kijavítom:

,,Aki a harmadig és a negyedik feladatott megoldotta díjat nyert. Hányan nyertek díjat? ''

Én ezt úgy értelmeztem:

|F₃ ∪ F₄| = ?

Bár a köznyelvben néha tényleg így értjük az ,,és'' szót, de Te azt írtad az előbb,

,,|F₃ ∩ F₄|= 60

És ekkor jönnek a hármas halmazok. (és itt jegyzem meg, hogy ezeket teljesen fölösleges leírni, mert a kérdés csupán az utolsó kettőre irányult :D)''

Ebből azt szűröm le, hogy Te a feladatot úgy értelmezted, hogy a nyertesek halmazát a

F₃ ∩ F₄

adja, nem pedig a

F₃ ∪ F₄.

Elfogadom, a Te változatod az életszerűbb (bár a köznyelvi ,,és'' szócska nem mindig azonos a halmazelméleti metszettel, de itt talán mégiscsak). Remélem, nem volt zavaró.

A megoldás logikai szabályaira még nem jöttem rá. Egyébként honnan van ez a feladat? Mi a gimiben az alapdolgokon kívül egyetlen dolgot tanultunk halmazelméletből: a logikai szitát. Látom, Te is a logikai szita formuláját használtad.

Ez valami KöMál feladat, vagy valami verseny? Volt már halmazos példa itt a Gyakorikérdések.hu-n, de azt egyszerű háromhalmazos Venn diagrammal, és a ,,tapéta alá szorult buborék'' módszerével gyorsan meg tudtam oldani.

Itt viszont egyelőre ez a módszer sem jött be.

http://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazife..

Nagyon tetszett a megoldásod. Sikerült formalizáltan is leírnom, igyekeztem minél részletesebben kidolgozni, hogy tanuljak belőle.

Sajnos a másodikra még nem tudok mit mondani. Próbálkoztam az előző megoldás átemelésével is, egyelőre még nem látom.

Annyit könnyítettem a példán, hogy kivettem négy gyereket (lencsét) a négy halmaz metszetéből, és egyben csökkentettem mind a négy halmaz létszámelőírását is, mindegyiket épp 4-gyel. A feladat így át lett fogalmazva egy másikká, de még sok mindent nem látok.

Mindenesetre ma is sokat használtam a korábban leírt ,,lencsealapú számítógépet'', próbáltam kísérletekkel is felfedezni a feladat mögött álló elméletet.

Az előző példában leírt megoldási ötleted

,,Ekkor megkeressük azt a számot, amit háromszor levonva és egyszer hozzá adva 100-at kapunk (vagyis kétszer levonva). Ugye háromszor azért vonjuk le, mert már nem oda tartozik, hanem a metszetbe, egyszer meg azért adjuk hozzá, mert ott van a metszetben''

Ez azt használja ki, hogy a kettős metszetek uniójára felírt szitaformulánál a kettősmetszetek ,,további'' kettősmetszetei pont egybeesnek a kettősmetszetek ,,további'' hármasmetszetével, szóval afféle ,,virágsziromszerű'' elrendezést tudtál itt nagyon zseniálisan kihasználni.

Leírom jelekkel:

X := F₁ ∩ F₂

Y := F₂ ∩ F₃

Z := F₃ ∩ F₁

X ∩ Y = Y ∩ Z = Z ∩ X

=

X ∩ Y ∩ Z

Szóval azt használtad ki, hogy X, Y, Z amolyan ,virágszromszerűen'' viszonyul egymáshoz, és a közös metszeteikhez.

Ez teszi lehetővé, hogy a szitaformulát itt igen egyszerű formában használhassuk, ahol kevés az ismeretlen, mert sok dolog pont egybeesik:

|X ∪ Y ∪ Z| = |X| + |Y| + |Z| - (|X ∩ Y| + |Y ∩ Z| + |Z ∩ X|) + |X ∩ Y ∩ Z| = |X| + |Y| + |Z| - 3⋅|X ∩ Y ∩ Z| + |X ∩ Y ∩ Z| = |X| + |Y| + |Z| + 2⋅|X ∩ Y ∩ Z|

Ezt az ötletet esetleg át lehet vinni a 2. példára is, csak itt meg eggyel mélyebb szintre:

Szóval azt próbáljuk meg kihasználni, hogy a hármasmetszetek uniójára felírt szitaformulánál a hármasmetszetek ,,további'' kettősmetszetei pont egybeesnek a hármasmetszetekmetszetek ,,további'' négyesmetszetével, szóval itt is hasonló ,,virágsziromszerű'' elrendezést tudnánk kihasználni kihasználni. De ezt még át kell gondolnom.