Németben a tulajdonnév birtokos eseténél milyen esetbe kerül a birtok?

Alanyesetben! Miért kellene más esetbe kerülnie?????

A "tulajdonos" van birtokos esetben, a "birtokolt valami" meg alanyeset!

Attól függ, mi a szerepe a mondatban. Például ha azt mondom, hogy befestem Péter autóját:

Ich male Peters Auto.

Akkor - bár nem mutatja semmi - az autó tárgyesetben van, hiszen azt festem be. Azt, hogy Péter a birtokos, pedig a Péter birtokos esete jelzi.

Ugyanígy lehetne olyan mondatot szerkeszteni, ahol az autó alany, részes vagy akár birtokos esetben van.

#2) Az eredeti kérdésre ez egy nagyon jó válasz, de nem állhatom meg, hogy majdnem off-topic-ként ne korrigáljam a példamondatodat, merthogy az nem azt jelenti, hogy "befestem Péter autóját". Egy állandóan visszatérő probléma a németet tanulóknál a "malen, bemalen, anmalen, streichen" igék helyes használata. Itt egy kis összefoglaló:

ich male Peters Auto = megfestem Péter autóját (egy képet festek róla, tehát papíron v. vásznon ábrázolom)

ich bemale Peters Auto / ich male Peters Auto an = befestem Péter autóját (rákenek egy másik színt, mintát, stb.) De vigyázat, ez nem jó arra, amikor a karosszériás újrafest és lakkoz egy autót, arra azt mondjuk, hogy:

ich lackiere Peters Auto (neu)

vagy:

ich lackiere Peters Auto um (in einer neuen Farbe)

Végezetül:

ich streiche meine Wohnung = kifestem (mázolom) a lakásom