Hogyan is van ez a matematika tanulásakor?
A kérdésem félek, hogy sokaknak együgyű lesz, de komolyan gondolom. Szándékosan fogalmazok egyszerűen és tömören, de remélem pontos leszek.
Ugye a matematika a logika tárgya, logikus rendszerekkel. Sokan nem igazán értik a rendszerét, ezért nekik egy rettenet a matek, viszont ha valaki első hallásra érti a dolgokat, akkor tanulás nélkül is elvileg meg tudná írni a számonkérést hibátlanra. Kicsi szépséghiba, hogy a nagyon jó matekosok is tanulnak azért gimiben emelt szinten, viszont a számonkérések nehézsége eltérő, a leadott anyag is eltérő, meg persze ők is írhatnának ötöst tanulás nélkül is, max nem mindig. De alapvetően ha valaki nagyon fogja és érti a matekot, akkor akár elég lehet, hogy hallja az anyagot és ötöst ír belőle, ha külön nem tanul, akkor is.
Viszont egyetemen egy nehezebb szakon, még azoknak is kell tanulni relatív rendesen, akik gimiben OKTV döntősök voltak, van két ilyen ismerősöm is. Persze nekik nyilván kevesebbet, de számukra se elég, hogy figyelnek órán. Amúgy egyikük mérnökinfón végzett, a másik matek szakon, ő ért el jobb eredményt versenyen.
Ez azért van, mert nehezebben átlátható az anyag logikája, tehát nehezebbek az összefüggések? Vagy mert sokkal több összefüggés van? Vagy a tanár nem adja le a teljes anyagot? Bár a matek nehézségét nem az adja, hogy mennyi az anyag mennyisége, hanem annak megértése, főképp. Nyilván ezek keveréke is létezik. Tehát akkor már nem működik az értem a matekot és ennyi elég logika. És az a kérdés lényege, hogy leginkább miért.
Gyakorin olvastam, hogy valakinek az ismerőse matekzseni, nulla tanulással végezte el a matek szakot. De ezt nem igazán lehet elhinni, mert akit én ismerek és hívható zseninek, csomót tanult matek szakon, a másik illető meg mérnökinfón (bár neki alapjáraton sok erőssége van, a matek az egyik ezek közül, de azt nem tudom, hogy miben a legjobb).
V"égül, igen , le lehet 'butítani' a komolyabb matematikát is úgy hogy ha elengedjük bizonyos szabályok megértésének alkalmazhatóságát, ill. rendkívül jó szemléletes módon tálaljuk - függetlenül, hogy a szemléletből le lehet-e vezetni, vagy visszakövetkeztetni bármilyen elméleti megfontolást. De valami kicsi kell mindig hogy értsd, LÁSD a lelki szemeid előtt. PL. Riemann-tétel: Feltételesen konvergens sornak van olyan permutációja, hogy bármilyen előre meghatározott sorösszeget kiadjon. Na, ez egy bizonyítás egy egyszerű szabályba öntve. Érted most már, meggy ennyiből? Dehogy. Mi az hogy feltételesen konvergens? Permutáció? Végtelen összeg? (persze ismerheted, de idáig is el kell jutni, hogy az egyszerű szabályokat felfogd, nemhogy még "valdáld" is, egyébként nagyon szép és könnyen átlátható a bizonyítása :), egy gimis is megértené, ha nincs kiborulva annyira a matektól ) Szerintem száraz matematikát lehetetlen (úgy) művelni bárkinek is (hogy nincs meg egy összefoglaló szemléletes látnoki víziója a dologról a fejében). Tehát száraz matematikát művelni szemfényvesztés, egy bűvész trükk, valószínűleg nem olyan szárazon látja mint amilyennek tűnik kívülről ;) 26F"
Tehát akkor a legnehezebb integrálások azok azért nehezebbed a deriválásnál, mert többféle szabály van, és a szabályok is nehezebbek? De amúgy ugyanúgy fixek a szabályok, mintha egy szinusz függvényt dferiválna valaki?
Mert amiket itt olvasok, azok alapján arra asszociálok, mintha az integrálás nem fix szabályok szerint működnének, ami alapvetően egy képtelen gondolat. Mert ugye az a szöveg, hogy a deriváláshoz be kell magolni pár szabályt és kész is, az integráláshoz meg kreatívnak kell lenni. De az is ugyanúgy szabályszerű, csak több szabály és nehezebbek is a szabályok?
válasza:Ha konkrétan erre vagy kíváncsi, igen, mindenképp több szabály és eset van. Azért van így mert integrálni nem annyira egyszerű, és csak úgy nincs egy általános formula minden esetre. Esetekre lebontva kell néha végigondolni a dolgokat.
Mi az integrálás? Függvény területe. Tehát minden integrál egy területfogalomból indul ki, és legalább 2 ismert van Riemann, Lebesque. (természetesen az egyik a másik bővítése, de nehéz is középfokú tanulmánnyal felfogni, hogy lehet-e egyáltalán eltérő területfogalom...)
De most maradjunk a megszokott területszámításnál. Mi van ha végtelen az intervallum? Akkor arra van az Imprprius integrál. Lebesque ötlete volt vízszintesen felszeletelni a függvényt, így még több "durva" függvény területét meg lehet határozni.
Akkor vannak többváltozós függvények. Sőt, magasabb dimenzióba ágyazott tartományokon történő integrálás. Pl. egy út mentén összeszámolom az emelkedést így megtudom mekkora a szintkülönbség az út két végén. Sőt
Aztán vannak az algebrai függvények: x hatvány, sin(x), exp(x)=e^x, ill műveletek: kompozíció, összeg, konstans-szoros, ill. inverz-képzés VÉGES sokszori alkalmazása. Az így alkotható függvények az algebrai függvények. Algebrai függvény integrálja nem biztos hogy algebrai. Hoppá...
Analitikus függvény: x hatványok végtelen összege: a1*x+a2*x^2+a3*x^3+... Nem mindnek van algebrai zárt formulája, vagy nem ismert. Vagy éppen fordítva, az algebrai függvény sora ismert és hála za égnek ezt tudjuk integrálni, mert tagonként kell, e sokra nem jutunk (bár ez is bőven valami!) ha nincs algebrai alakjai az így integrált függvénynek.
válasza:Derivalasnak megvan a definicioja, hogy f’(x)=lim_{h->0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}, ha ez a limit letezik es veges. Ez a definicio konstruktiv, azaz megmondja, hogy ha van egy adott fuggvenyed hogyan szamold ki a derivaltjat. Ebbol kiindulva analitikus fuggvenyek eseten be lehet latni a tobbi szabalyt, ami megkonnyiti az ember dolgat, hogy ne kelljen mindig visszaterni az alap definiciohoz. De ez csak specialis esetekben, effektiven 1D-ban es szep fuggvenyeknel mukodik. Kulonben mindig ki kell szamolni definicio alapjan a tenyleges erteket.
Na marmost az integralasnal is megvan a definicio, hogy az a fuggveny egy fuggveny integraltja, aminek a derivaltja az adott fuggveny. Na marmost ez a szabaly nem konstruktiv, azaz ha kapok egy random fuggvenyt nem tudom mechanikusan robotkent kiszamolni az integraljat. Ellenorizni azt viszont konnyen tudom. Es emiatt integralasnal nincsen sok altalanos szabaly, ami segitene. Helyette trukkok vannak, amik egy egy specialis esetre vonatkoznak. Es emiatt nem konnyu integralni, hiszen nem az van hogy megvan hogy hogyan kell valamit kiszamolnom, es max hosszu a szamolas, hanem okosan ki kell talalnom hogy epp melyik trukkot alkalmazzam, hogy egy konnyebb integralra jussak. Es lehet hogy 20 trukk kell a megoldashoz, ekkor az elejen at kell latni, hogy milyen lepesek fognak egyre konnyebb es konnyebb alakot adni. A masik meg hogy amig minden fuggvenyt le tudsz derivalni, es letezik zart alakja a derivaltnak, integralasnal mar nincs ez. Tehat peldaul a sin x/x integraljat nem tudod elemi fuggvenyek kombinaciojakent felirni. Es ha mondjuk ez a feladat akkor ra kell jonnod valahogy, hogy hiaba van a sok trukkod, nem fogod tudni kiszamolni az integralt.
Ó köszönöm a deriválási és az integrálási példát.
Tehát akkor az is a nagy probléma, hogyha kell 10 féle trükk, akkor nem látod előre, hogy melyik 10 kell? Megcsinálod az első hármat és kiderül szépen, hogy falba ütköztél? Mármint rossz esetben.
De amúgy maguk a trükkök egyenként nem is nehezek, csak így egyben az egész feladat az? Vagy esetleg 1-1 trükk alkalmazása, átlátása is nehezebb, mint a deriválási szabályok? Szerintem igen, de azért megkérdem. Tehát szerintem sok trükk kell, meg nehezek is, legalábbis egy törtfüggvény deriválási szabályánál nehezebbek.
válasza:Egyenkent a trukkok nem nehezek.
De vannak olyanok is, amire eleg nehez rajonni. Peldaul amikor a gauss fuggveny alatti teruletet akarod kiszamolni, akkor 1Dben nem tudod, emiatt attersz 2Dbe es ott mar ki tudod szamolni a negyzetet. Vagy vannak meg nagyon specialis bonyolult trukkok.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!