Matematikai versenyfeladat?

Legyen a háromszög alapja a, szára b, a hozzájuk tartozó magasságok ma és mb, az a és b által bezárt szög pedig alfa.

Tudjuk, hogy b = 5/6*a

Azt is tudjuk, hogy cos(alfa) = (a/2) / b

ebből ki tudod számolni alfát, szóval a szög megvan, hurrá.

sin(alfa) = ma / b

ebből megvan ma "a" függvényében

illetve

sin(alfa) = mb / a

ebből meg megvan mb (szintén "a" függvényében)

2*mb + ma = 68

ezt pedig már meg tudod oldani a-ra.

Ha tudod a-t, akkor b-t is tudod, már csak össze kell adni őket, szóval a feladat meg van oldva.

Helyes kis feladat. :-)

Legyen

a - a háromszög alapja

b - a háromszög szára

q = b/a - a szár és az alap hányadosa

ma, mb - az alaphoz ill. a szárhoz tartozó magasságok

M = ma + 2*mb = 68 - a magasságok összege

K = a + 2b = ?

Kezdjük a magasságok összegével

M = ma + 2*mb

A területből

a*ma/2 = b*mb/2

a*ma = b*mb

ebből

ma/mb = b/a = q

vagyis

ma = q*mb

A magasságok összegébe behelyettesítve

M = q*mb + 2*mb

M = mb(2 + q)

ebből

mb = M/(2 + q)

~~~~~~~~~~~

Jön a Pithagorasz az alaphoz tartozó magassághoz

b² - a²/4 = ma²

mivel

b/a = q

így

b = q*a

és

ma = q*mb

ezekkel

q²a² - a²/4 = q²*mb²

a törtet eltüntetve

a²(4q² - 1) = 4q²*mb²

ebből

a² = 4q²*mb²/(4q² - 1)

vagyis

a = 2q*mb/√(4q² - 1)

az mb-t behelyettesítve

a = 2q*[M/(2 + q)]/√(4q² - 1)

====================

ezzel megvan az alap hossza, amivel

b = q*a

a szár hossza.

Ezek után a kerület

K = a + 2b

K = a + 2*q*a

K = a(1 + 2q)

==========

az 'a' értékét behelyettesítve egyszerűsítés után a zárt megoldás

K = M*[(2q/(q + 2)]*√[(2q + 1)(2q - 1)]

Szép kerek számok jönnek ki. :-)

(Ellenőrzés céljára: a = 30; b = 25; ma = 20; mb = 24; K = 80)

DeeDee

**********