Az 1 és 10 közötti végtelen nagyobb, mint az 1 és 3 közötti?

10 - 1 = 9

3 - 1 = 2

Veszel egy számot 1 és 3 között, kivonsz belőle egyet, megszoroz 9/2-del, hozzáadsz egyet, és kapsz egy másik számot az 1-től 10-ig terjedő intervallumban.

y = (x - 1) * 9/2 + 1

Egy-egyértelmű ez a hozzárendelés? Igen, hiszen:

x = (y - 1) / (9/2) + 1

Tehát a két intervallumban ugyanannyi szám van, mivel egy-egyértelműen egymáshoz rendelhetők.

Geometriailag is megoldható;

Veszel egy szakaszt, egyik végpontja legyen 1, másik végpontja legyen 3. Ezután veszel egy másik, az előzőnél hosszabb szakasz (de a két szakasz ne essen azonos egyenesre), egyik végpontja legyen 1, a másik 10. Most veszünk két egyenest; az egyik átmegy az 1-eseken, a másik átmegy a 3-ason és a 10-esen, és ezeknek lesz egy metszéspontja. Ha ebből a metszéspontból elindítunk egy egyenest a szakaszokon keresztül, akkor az egyenes a két szakaszt egy-egy pontban fogja metszeni. Ezzel a módszerrel mindegyik pontnak pontosan egy párja lesz, mindegyik ponthoz tartozik pontosan egy szám (ez könnyen belátható például azzal, hogy az 1-től két különböző pozitív szám nem lehet ugyanolyan távolságra), tehát az 1-3 és az 1-10 közötti számokat kölcsönösen meg tudjuk feleltetni egymásnak.

Az érdekessége a feladatnak, hogy akkor is működik a dolog, hogyha az 1-3 szakasz hosszabb. Ha pedig a két szakasz ugyanolyan hosszú, akkor az említett egyenesek nem fogják metszeni egymást, azonban ekkor párhuzamos egyenesekkel tudjuk a kölcsönös egyértelműséget megmutatni.

Maga a probléma abból fakad, hogy végesben akarsz gondolkozni, például ha van 3 cukorkád és 10 cukorkád, akkor értelemszerűen a 10 cukorka a nagyobb, vagy ha van 3 kg cukrod és 10 kg cukrod, akkor a 10 kg-osban több cukorkristály van, azonban végtelenben nem az a kérdés, hogy melyikből van több (mert ezt nyilván nem lehet megmondani, hogyha "ugyanolyan" végtelenről van szó, és itt erről van szó). Érdemes arra gondolni, hogy egy 2 éves gyerek hogyan tudja meghatározni, hogy a 3 cukorka-e a több vagy a 10 anélkül, hogy ismerné a számokat. A válasz az, hogy mindkét halomból megesz egy cukorkát, aztán még egyet, aztán még egyet, majd azt tapasztalja, hogy az egyik halom elfogyott, ekkor értelemszerűen a másikban volt a több. Végtelenben nem arra vagyunk kíváncsiak, hogy melyik fog előbb elfogyni, hanem hogy megoldható-e az, hogy mindig kiveszünk egy-egy számot a halmazból, vagyis össze lehet-e őket megfelelően párosítani (az minket nem érdekel, hogy megoldható-e úgy, hogy az egyik elfogyjon, például ha azt csinálod, hogy az egyenlő számokat párosítod össze, akkor 3 fölött már nem lesz párja a számoknak, csakhogy ez fordítva is megoldható, vagyis az 1-10 minden számának legyen párja úgy, hogy az 1-3-nak ne jusson). Erre jó példa a fenti geometriai, és a fentebbi algebrai megoldás is.

Aki pedig azzal jön, hogy végtelen=végtelen, annak ajánlom, hogy nézzen utána a megszámlálható és a megszámlálhatatlan végtelen fogalmának.

- Háromtól nagyobbak a számok, mint három alatt.

- Az egy és tíz közötti intervallum szélesebb az egy és három közötti intervallumnál.

A kérdés azért hibás, mert a tizedesszámokat lehet csak a végtelenségig írni. Ez viszont csak egy számra vonatkoztatható. A szám pedig nem a végtelenbe tart, hanem a következő számjegyhez...