Valós számok halmazán értelmezett sorozatnak lehet komplex szám a határértéke?

Definíció kérdése, amennyiben komplex számnak tekintjük az (e,i*0) számot ahol e a természetes alapú logaritmus alapja, és a szám imm. része zérus, akkor nyilvánvalóan igen.

hiszen az e sora (1+1/n)exp n az valós, és az "e,0*i" szám pedig komplex.

A határérték definíciója szerint a sorozatnak van olyan eleme ami tetszőlegesen közel van a határértékhez. Azonban ha a határérték az A = a+bi komplex szám, ahol b nem nulla, akkor a hozzá legközelebb lévő valós szám távolsága éppen b. Ennél közelebbi tagja tehát nem lehet egyetlen valós értékű sorozatnak sem ehhez a számhoz, vagyis az a+bi (b nem nulla) szám nem lehet egy valós értékű sorozat határértéke.

|X_n -A|<EPS (határérték definíciója) nem teljesül minden epsilonra, mert a sorozat valós volta miatt |X_n -A|>b

Mit jelent pontosan a "valós számok halmazán értelmezett sorozat"? Csak azért kérdem, mert a sorozatokat a pozitív egész számok halmazán szokás értelmezni.

Én úgy értelmeztem, hogy olyan sorozatról van szó, ami mindig valós értékeket vesz fel. Ha így van, akkor ki lehet kényszeríteni, hogy a határérték komplex legyen, ehhez definiáljuk a következő hozzárendelést;

W(n):=

{1, ha n=/=0

{i, ha n=0

Ha ez megvan, akkor legyen

(an) = W(1/n)

Ha ennek vesszük a végtelenben a határértékét, akkor 1/n->0, így W(1/n)->W(0), ami pont i.

Nem igazán értem, hogy mit írsz, egy kicsit kifejthetnéd bővebben.

Az lenne a kérdésem egyfelől, hogy ha az általam megadott határérték nem 0, akkor mi, másfelől, ha jól értem, amit írsz, akkor a sin(1/n) sorozatnak sem 0 kellene, hogy legyen a végtelenben vett határértéke.

"az általam megadott határérték nem 0"

Mármint nem i.

A a W(x):=

{1, ha x=/=0

{i, ha x=0

tehát függvény .

Ennek a határértéke az x_0=0 pontban nem A=i, mert nem teljeslül az i-re a határérték definíciója, Amely így szól: Tetszőleges epsilon >0 értékhez van olyan delta>0 érték, amelyre teljesül, hogy minden 0<|x-x_0|<delta egyenlőtlenséget kielégítő x értékhze a függvény olyan W(x) értéket rendel hozzá, hogy |W(x)-A| < eps

Mivel x_0=0 pontban keressük a határértéket, a 0<x<delta pontokhoz rendelt W(x) értékekre kell teljesüljön, hogy |W(x)-A| < eps. W(x) azonban ezen az intervallumon 1-el egyenlő. Így létezik olyan epsilon ( például a 0.1), amelyre nem létezik olyan delta érték ( nem létezik olyan tetszőlegesen kicsi pozitív x érték), amelyre |W(x)-i|<0.1 teljesüljön, mert az az ilyen x értékekre konstans gyök2.