Határozatlan integrálnál hogy kell kezelni azt, amikor a dx nem a kifejezés végén van?

A dx felfogható úgy, mint egy mértékegység, mint például az 5 cm esetén a cm. Azt tudjuk, hogy a mértékegységeknél, ha nem is mondjuk ki, szorzatként fogjuk fel, például 5 cm = 5*cm. Hasonló módon működik itt is, például az

int (1/sin(x) dx esetén úgy, hogy

int (1/sin(x))*dx, és csak úgy, mint ahogyan például a 2/3 cm is megadható (2 cm)/3 alakban (bár ezt nem túl gyakran használjuk), itt is elvégezhető a szorzás, és

int (dx/sin(x)-et kapjuk eredményül.

Persze ez fordítva is működik, tehát ha valahol az integrálban van a dx, akkor a tanultak szerint kivihető a végére, de ott is igaz, hogy szorzótényezőként értelmezzük.

Az a baj, nem érted a hátteret. Azt a geometriai értelmezést kéne áttanulmányoznod,ahogy az integrálfogalmat bevezetik.

Anélkül semmi értelme az egésznek. Értelemszerűen olyan fogalmaknak kéne beugrani, hogy elemi terület, infinitezimálisan kicsiny, minden határon túl való finomítás.

Ha ezek nem ismerősek, akkor sürgősen nézz utána, mert ennélkül semmi értelme az egész integrálásnak.

Amit a #2-es ír, sajnos az is csak egy süket körítés, mert a geometriai tartalom elmarad.

Ami értelmes az egészből, az annyi, hogy f(x)*dx-ben a dx egy szorzat egyik tényezője. Azt meg már bölcsödéből tudjuk, hogy a szorzás kommútatív (legalábbis a valós számkörben).

Így hát ha f(x) egy tört pl. f(x)=g(x)/h(x) alakba írható, akkor már egy bölcsödés is látja ebből, hogy dx akár a számlálóba is írható.

De mindez csak egy körítés, mert az integrálás bevezetését kell tudni. Úgyhogy annak nézz utána, mert annélkül nem tudsz továbblépni a bölcsődés szinten.

Ugye valahogy úgy kezdődik a történet, hogy tekintünk egy (a,b) intervallumon értelmezett f:x->f(x) függvény gráfját (tegyük fel most hogy monoton növő), és az értelmezési tartománynak valamely ekvidisztans felosztását vesszük.

Ilyenkor tetszőleges (x_j,x_j+1) intervallum feletti T_j területre fenáll az alábbi egyenlőtlenség:

[(x_j+1)-(x_j)]*f(x_j)<=T_j<=[(x_j+1)-(x_j)]*(f(x_j+1)).

És a történet még csak most kezdődik, mert bevezetjük a

delta(x)=(x_j+1)-(x_j) jelölést, amivel

delta(x)*f(x_j)<=T_j<=delta(x)*f(x_j+1).

Az egész integrálszámítás alapötlete innen jön, és ez az értelme neki. Mert most ezután a teljes (a,b) intervallum fölötti területet vesszük, ami nyilván összegzéssel kapható. Legyen b-a=N*delta(x) ekkor j=1,2,...,N+1 és

szum[delta(x)*f(x_j),j=1,..,N]<=szum[T_j,j=1,..,N]<=szum[delta(x)*f(x_j+1),j=1,...,N].

És az alapötlete az egésznek, hogy vesszük az N->végtelen határértéket, ekkor lim[delta(x)]=dx, és az integrál definíciója pedig az összegnek a limesze lesz.

Az meg már a rendőr -elv, hogy az alsó és felső becslés is ugyanoda tart. Ezért is lehetséges ez a fajta integráldefiníció (Riemann-féle).

Remélem világos most már, hogy a dx mint szorzó honnan jön, és legközelebb ilyen primitív butaságot már nem kérdezel.

Persze hogy összefügg, hogy a fenébe ne függene össze!

a derivált definíciója meg az, hogy a szelőt határértéke lesz az érintő, és ez a derivált. dx ilyenkor formális osztást jelent. (EZ a dx-es dolog egyébként Leibniz-től származik)

Egy test sebessége v=ds/dt. Utat osztunk idővel. Ha átszorzol vele:

v*dt=ds = a dt idő alatt megtett elemi út.

Ebből s-et integrálva kapod:

s=integrál (v*dt) +Konst. Vagyis a megtett út(s) a v(t) diagram alatti terület lesz. A konstans a kezdőpozícióhoz kell, majd amikor tanuljátok a differenciálegyenleteket, akkor ezt kezdeti feltételnek nevezitek.

Én még nem láttam sehol definiálva. Szerintem hibás jelölés.

Ugyanazt értik alatta, mintha a kifejezés végén lenne. Szóval nem jelent semmit. (Szerintem nem is néz ki jobban.)