Van két olyan különböző művelet, amely egymásra kölcsönösen disztributív a valós számok halmazán?

Veszel egy kontinuum méretű H alaphalmazon 2 disztributív műveletet, aztán átnevezed az alaphalmazod elemeit valós számokra egy H-->R bijekcióval.

Pl H=P(Z), azaz az egész számok részhalmazain az unió és a metszet ilyenek.

Belátható hogy létezik ilyen.

Mivel a halmazok esetében az egyesítés és metszetképzés kölcsönösen disztributív egymásra. Az egész számok halmazának összes részhalmazainak halmaza kontinuum végtelen mint a valós számok halmazának számossága. Az egész számok részhalmazain értelmezett egyesítés és metszetképzés műveletekkel izomorf műveleteket ha veszek a valós számokon akkor az garantáltan a kérdésnek megfelelő műveletek lesznek.

Ilyet meg könnyen lehet konstruálni. Legkézenfekvőbb az a recept hogy olyan bijektív leképezés a valós számok és az egész számok részhalmazai között hogy (egyszerűség kedvéért egyelőre csak a nemnegatív valós számokat képezzük le) veszem a valós számnak bináris alakját és ahányadik helyi értéken 1-es szerepel annyiadik helyen felveszek egy elemet az egész számok halmazán.

pl 34 valós szám binárisan az 100010 ennek a képe lesz az {1,5} (0-tól kezdve a helyiérték számozást)

ha a valós számom 34.5 lenne ami nem egész akkor ennek képe {-1,1,5} lesz hiszen a bináris képe 100010,1 a kettedes vessző után van az negatív indexű.

invertálva a leképezés úgy fest hogy ekkor egész számok részhalmazabeli elemet képezünk le valós számmá, ekkor a halmaz összes eleme szerinti egész szám felemelve 2 hatványára összegét vesszük ez esetben 2^-1 + 2^1 + 2^5 lesz ami nem más mint 34.5. Igen ám, de a kérdés az nem úgy szólt hogy nemnegatív valós számokon érelmemeztett műveletek hanem a teljes valós számokon. Ezért hogy a negatív számok is beleférjenek az egyik számot fel kell áldozni előjelnek mindegy melyiket és a többit ennek megfelelően eltolni. Pl. ha a 0-át választom erre a célra akkor a {0,1} halmaz képe lesz a -1 az {1} halmaz képe lesz az 1. De én csupán egyszerűség kedvéért még egy elemmel bővítve az egész számok halmazát találtam ki hogy berakok még egy elemet a negativ nevű elemet mely jelzi ha negatív, de mondom erre nem lenne szükség, ez csak a könnyebb kezelhetőség miatt. A lényeg hogy legyen egy kitüntetett elem ami jelzi ha negatív a szám ami ha szerepel a halmazban akkor ez egy -1-es skálafaktor átváltózáskor.

pl vegyük az alábbi valós számokat:

a=3213232.125

b=2142241

c=3213214

a --> {-3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 16, 20, 21}

b --> {0, 5, 12, 13, 15, 21}

c --> {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 16, 20, 21}

Ha vesszük f és g függvényt mely egymásra kölcsönösen disztributív ahol f(a,b) = valossaLekepez(binarishelyiertekHalmazLekepez(a) unio (binarishelyiertekHalmazLekepez(b))) és g(a,b) = valossaLekepez(binarishelyiertekHalmazLekepez(a) metszet (binarishelyiertekHalmazLekepez(b)))

akkor a következőt kapjuk:

f(a,g(b,c)) = 3213232.125 mivel g(2142241,3213214) = 2097152 és f(3213232.125,2097152) = 3213232.125

f(a,g(b,c)) = g(f(a,b),f(a,c)) mivel f(a,b) = f(3213232.125,2142241) = 3258289.125

f(a,c) = f(3213232.125,3213214) = 3213246.125

g(f(a,b),f(a,c)) = g(3258289.125,3213246.125) = 3213232.125

#2:

A valós számok és a bináris ábrázolásuk között nincsen adott bijekció, márpedig te ez utóbbival dolgoztál. Szóval még csak a bináris ábrázolásokon adtál meg ilyen műveletet (helyiértékenkénti AND és OR, + ugyanez az előjelen), nem pedig a valós számokon.

-- --

De eszembe jutott egy egyszerűbb.

Legyen a kétváltozós műveletek a {0,1}x{0,1} halmazon a szokásos AND és OR, mindenhol máshol meg konstans -1-ek.

Ha a bemenet 3 változója csak 0-t vagy 1-et tartalmaz akkor disztributív így megegyeznek, ha meg nem, akkor az eredmény mindenképpen -1, és így is megegyeznek.

"A valós számok és a bináris ábrázolásuk között nincsen adott bijekció, márpedig te ez utóbbival dolgoztál."

Hogy ne lenne. Pontosabban fogalmazva bináris képük nem ábrázolásuk. Mondj ellenpéldát ha azt mondod nincs bijekció!

"Ha a bemenet 3 változója csak 0-t vagy 1-et tartalmaz akkor disztributív így megegyeznek, ha meg nem, akkor az eredmény mindenképpen -1, és így is megegyeznek."

Akkor már miért nem mindjárt minden esetben -1?

Hogyan mondhatnék ellenpéldát arra hogy nem adtál meg bijekciót? És minek? Neked kéne megadnod egyet!

Mondjuk legyenek a valós számok a racionális számokból álló Cauchy sorozatok ekvivalenciaosztályai, ahol két sorozat ekvivalens, ha az összefésültjük is Cauchy.

(Vagy definiáld őket ahogy akarod. Segítség: [link] )

Ezt kéne belebijektálnod a (előjellel és tizedesvesszővel ellátott) 01 sorozatokba valahogy.

A konstans -1-ek nem jók, mert a feladatban különböző műveleteket várnak.

"Hogyan mondhatnék ellenpéldát arra hogy nem adtál meg bijekciót?"

Konkrétan nem adtam meg biekciót de triviális hogy létezik, sőt végtelen sok bijeció létezik. Igazából nem is lenne követelmény hogy tökéletesen bijetív legyen. Na de ha nem voltam egyértelmű akkor egyet kiválasztok önkényesen ezek közül, a legkézenfekvőbbet. Pozitív egésznek legyen a szokásosan felírt bináris alakjában azok az egészek ahanyadik helyi értéken 1-es van.

Példa rá: 123 = 0b1111011 --> {0, 1, 3, 4, 5, 6}

Ha pozitív és nem egész, akkor annak képe ugyan e szerint az algoritmus szerint konstruáljuk, csak negatív itt bejönnek a negatív kitevős helyiértékek a kettedes vessző után példa rá: 123,5 = 0b1111011,1 --> {-1, 0, 1, 3, 4, 5, 6}

Nullának a képe legyen a teljes egész számok halmaza.

Negatív számok képe pedig legyen a fentebb definiált ellentettje képének az egész számok halmazán értelmezett komplementer halmaza

Példa rá : -123,5 = -0b1111011,1 --> {-1, 0, 1, 3, 4, 5, 6} halmaz komplemetere ahol az univerzum halmaz az egész számok halmaza

Ellen példa alatt azt értettem, hogy mondasz 2 olyan valós számot melynek ugyanaz a képe vagy nem értelmezett valamely számnak a képe. Ugyanez egész számhalmazra is jó ellenpélda ha olyat mondasz, ha ugyanazt a valós számot képezi le vagy nincs értelemzve a képe.

Nézd.

Ezek szerepeltek a kérdésben:

[link]

Te pedig ezeken adtál meg 2 disztributív műveletet:

[link]

Kell még egy bijekció a 2 halmaz között.

"Minden valós számnak létezik tizedestört képe."

Jav: Minden valós számnak létezik tizedestört alakja.

Nem.

Leírtam már 3x, ha érdekel, elolvashatod akármelyiket. A kérdésre adtam 2 konstrukciót, szóval sztem nekem itt elég volt ennyi.