A vektorokkal történő mértani bizonyítások miért helyesek?

Az világos, hogy a vektorok egyenlősége akkor teljesül, ha a két vektor párhuzamos, irányítása és hossza megegyezik. Az is érthető számomra, hogy a vektorok paralelogramma szabállyal adhatóak össze, ezzel analógia az például, hogy két ember két irányba húzza ugyan azt a testet, és amerre elmozdul, az lesz az összegvektor. Csak azt nem értem, hogy vektorok kb milyen szinten vannak axiómatikusan bevezetve, azaz melyek a nagyon alap tulajdonságaik, amelyek gyakorlatilag definíciók?

Tegyük fel, hogy azt akarom igazolni, hogy két szakasz párhuzamos egy mértanfeladatnál. Ekkor kifejezem vektorokkal a szakaszokhoz rendelt vektorokat és ha azok párhuzamosak, akkor a két szakasz is párhuzamos. Én azt nem értem, hogy miért marad meg ez a "párhuzamosság", miért következik ez a vektorok összegéből?