Hogyan lehet bizonyítani?

Igazad van, az egyik lépést elrontottam. Nem (k+1)*(k+8), hanem (k+1)/(k+8), és itt már gond van az "egész"séggel.

Nézzük ezt a megközelítést; próbáljuk meg azt megmutatni, hogy két egymást követő binomiális együttható sosasem relatív prím, hogyha n>=9 (nyilván n=8-ra a (8 alatt a 8) és a (8 alatt a 9) relatív prímek). Tehát azt lássuk be, hogy n>=9 esetén

( (n alatt a 8) ; (n+1 alatt a 8) ) > 1. Használjuk a definíciót:

(n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*(n-4)*(n-5)*(n-6)*(n-7)/8! ; (n+1)*n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*(n-4)*(n-5)*(n-6)/8! ) > 1, 8! értéke 40320. Ezzel az egyenlőtlenség beszorozható:

(n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*(n-4)*(n-5)*(n-6)*(n-7) ; (n+1)*n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*(n-4)*(n-5)*(n-6) ) > 40320

Az biztos, hogy a két szám közös osztója az n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*(n-4)*(n-5)*(n-6) szorzat, ez attól függően lehet több, hogy az (n+1) és az (n-7) számoknak van-e közös osztójuk. Mivel erről semmi biztosat nem tudunk mondani, ezért nézzük meg, hogy ami biztos, az mikor fogja kielégíteni az egyenlőtlenséget. Tehát -jobb híján- tegyük fel, hogy a legnagyobb közös osztó a fent említett szorzat, tehát nézzük meg, hogy arra mikor lesz igaz az egyenlőtlenség:

n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*(n-4)*(n-5)*(n-6) > 40320

Meglepetésünkre ennek megoldása n>8:

[link]

Mondjuk WolframAlpha nélkül is viszonylag könnyen megmutatható az egyenlőtlenség (pozitív egész) megoldáshalmaza.

Ez azt jelenti, hogy ha n>=9, akkor valóban nem relatív prímek az egymást követő számok.

A számok szigorúan monoton növekedve követik egymást, így a soron következő szám nem lehet prím, elvégre egy prímszám csak olyan számmal tud nem relatív prím lenni, amely önmagának egész számú többszöröse, viszont egy nála kisebb (pozitív egész) szám nem lehet az egész számú többszöröse, így mindenképp relatív prím lenne korábbi szomszédjával, ami ellentmondás.

Remélem, hogy ebben már nem lesz hiba.