Hogyan lehet bebizonyítani algebrai módszerekkel, hogy a valós számok asszociatívak és kommutatívak?

kérdező arra gondolsz, hogy tudjuk (elfogadjuk bizonyítás nélkül), hogy bármely két tetszőleges elem az összeadásra nézve kommutatív, és te ezt szeretnéd általánosítani tetszőleges kettőnél több tagú összegre?

#7 valóban a hivatkozott 6.7 tétel bizonyítása nem tárgyalja, hogy miért az asszociativitás és kommutativitás. nem néztem meg, csak kikerestem, hol kerül definiálásra a valós számok halmaza és melyik tételben szerepel, hogy ez test. a pdf viszont nem egyenlő azzal a könyvvel, ami csak elfogadja, hogy R test, de nem bizonyítja.

most kicsit jobban belenéztem a pdf-be, a dedekind-féle konstrukciónál bizonyítva van, hogy izomorf struktúrákat kapunk mindkét felépítessel. a dedekind-féle konstrukciónál a műveletek tulajdonságainál a definícióra hivatkozik, eszerint elég a racionális számoknál belátni. Az 5.2. tétel bizonyításában megtalálható az összeadás asszociativitásának bizonyítása, de amúgy itt is a műveletek definíciójára hivatkozik, ahonnan az egész számokhoz jutunk. A 4.2. bizonyításában megtalálható a szorzás asszociativitásának és az összeadásra nézve disztributivitásának igazolása, viszont ez még mindig nem elég, mert az N(alsóindex0)-on értelezett műveletek segítségével definiálja ezeket a műveleteket is, valamint az összeadás érdekel minket. szóval, ahogy az első válaszban olvasható, visszajutunk a természetes számokhoz. vagyis a következő tételeket nézd át a pdf-ből kérdező: 3.7; 3.9.