Hogy lehet bebizonyítani, hogy léteznek az irracionális számok? Pl. hogy létezik a négyzegyök kettő.

#43 > Tudod vannak olyan alap dolgok amiket nem definiálunk: ilyen a halmaz, halmaz elemének lenni, az hogy létezik valami stb.

Pedig a létezés jelentése itt a kulcs. A matematika absztrakt tudomány, a valóságtól elvonatkoztatott fogalmakkal operál. Az ókori embernek voltak almái. Meg voltak birkái. Meg voltak ujjai. Rájött, hogy ezeknek a valós dolgoknak van egy analóg működésük, a létezésüknek van egy speciális aspektusa, amiből alkotott egy elvont fogalmat, pl. azt, hogy három.

A három létezik? Bizonyos szempontból nem. Nem tudsz nekem adni hármat. Tudsz adni ilyet: [link] . Meg ilyet is: [link] . Meg tudsz mutatni ilyet is: [link] . De tudsz mutatni, adni „hármat” úgy, hogy nem adsz almát, birkát, nem mutatsz ujjat?

A három más szempontból nagyon is létezik, hiszen reprezentálja a valóságnak egy érzékszervekkel megtapasztalható aspektusát, valamiféle tulajdonságát a valós dolgoknak.

~ ~ ~

Platónnál pl. a matematika úgy jelent meg, mint a valósnak észlelt, de illuzórikus valóságunk mögött álló „valósabb” szint. De úgy általában úgy tekintettek a matematikára, mint a valóság bizonyos aspektusú leírására. Ma úgy fogalmaznánk meg, hogy a matematikát természettudománynak tartották.

A matematika egyik komoly töréspontja volt, mikor megjelentek a nemeuklideszi geometriák. Ugye Eukleidész eredeti axiómarendszerében a legtöbb axióma és posztulátum olyan magától értődően igaz volt, illetve magától értődően teljesülő a mi világunkban. Az utolsó kivételével. Ez sokakat zavart is persze. Próbálták levezetni a többi axiómából, mert úgy ki lehetne húzni az axiómarendszerből. Nem sikerült. Próbálták más olyan axiómával helyettesíteni, amiből ugyanúgy levezethetők a már ismert összefüggések. Ez részben sikerült, mert vannak egyszerűbben megfogalmazható axiómák, de valahogy ezek az alternatívák sem voltak olyan mértékben magától értődők, mint a többi.

Itt jött az az ötlet, hogy tegyük fel az eredeti axióma valamiféle ellentétét, lássuk be, hogy úgy ellentmondásokra jutunk, így cáfolni tudjuk a „negált” axiómát. Magyarán indirekt módon bizonyítsuk az ominózus axiómát. És itt jött a töréspont. Mert az így kapott geometria nem volt ellentmondásmentes. Megjelent egy alternatív geometria, majd megjelent egy harmadik, meg ezeknek is különböző alfajai. És ami lényeg, hogy matematikai szempontból nem volt jobb az egyik a másiknál, a matematika eszközökkel nem lehetett eldönteni, hogy melyik geometria a „helyes”. Amit lehetett tenni az az, hogy rábízzuk a fizikára, hogy eldöntse, melyik geometria írja le helyesen a valós, fizikai folyamatokat.

Nyilvánvalónak tűnt persze, hogy az euklideszi geometria ez a „helyes” geometria. Sajátos fejlemény, hogy a relativitáselmélettel kiderült, hogy amúgy ez nem igaz. De ez már csak részletkérdés.

Fontosabb kérdés, hogy akkor mi a helyzet a többi geometriával. Az nem matematika? De az. Sőt bizonyos nem a fizikai térhez kapcsolódó jelenségeket nagyon jól le lehet írni ezekkel a matematikákkal. Szóval matematika ez.

De akkor ez azt jelenti, hogy a matematikát bár felfedezni akartuk, kiderült, hogy valójában kitaláljuk. Bármilyen axiómarendszert definiálhatunk tetszésünk szerint, a matematika eszközrendszerével feltárhatjuk ennek a következményeit, összefüggéseit, akkor is, ha történetesen az axiómarendszer alkalmatlan bármilyen valós létező leírására.

~ ~ ~

A valós számok nagyon vad materialista megközelítéssel pont annyira nem léteznek, ahogy a negatív, a racionális vagy a természetes számok sem. Fogalmi természetűek, nem anyagiak.

A valós számok pont annyira léteznek, mint a negatív, racionális vagy természetes számok, mert reprezentálják azt a jelenséget, azt a működést, azt az összefüggésrendszert, amit a fogalomhoz társítottunk.

Ezért nincs értelme a valós számok létezésének a bizonyítását megkövetelni. A valós számok létezése nem valamilyen axiómarendszerből származó levezetett következmény, hanem valamiféle elvonatkoztatása pl. a geometriai következményeknek, ami köré aztán esetleg axiómarendszert is gyártunk. Pont úgy, mint ahogy a racionális vagy a negatív számok esetén tettük.A √2 jól reprezentálja az egységoldalú négyzet átlójának a hosszát. Ha szám természetű matematikai fogalmat akarsz ebből fabrikálni, akkor ez kézenfekvő. Ha nem akarsz, az is lehetőség, de ettől még számodra is érthetőnek kell lennie, hogy más számára ezt mit reprezentál, mit jelent. Ha nem, akkor valahol a matematika mibenlétével kapcsolatban van valami meg nem értésed vagy félreértésed. Ez lehetséges úgy is, hogy amúgy nagyon mélyen ismered a matematika összefüggéseit.

Pont ezért ez nem is annyira matematikai, inkább filozófiai kérdés, nem matematikus kell ide, hanem tudományfilozófia, ontológia (ami történetesen pont a létezés fogalmát járja körül könyvtárat megtöltő gondolatokkal a témában), episztemológia stb…

@50: Akkor jelentkezz be, vagy keress rá a szerzőre és címre máshol!

@51: Először neked kéne eldöntened, hogy mit nem értesz. A Dedekind-szeletes konstrukció bizonyítja, hogy létezik struktúra, amely kielégíti a valós számok axiómarendszerét (a teljességi axiómával együtt), onnantól a fenti bizonyítás mutatja n-edik gyökök létezését. Ezzel teljes a kép, nem maradt megválaszolatlan kérdés.

Báttya...Fogadjuk el, hogy léteznek valós, egész és racionális számok.

Na most az irracionális megegyezik az olyan valós számokkal, amik nem racionálisak. Ez jó definíció, bár a létezést nem bizonyítja.

No...Nelátható,hogy a valós számok halmaza kontinuum számosságú, a racionális számoké megszámlálható, azaz utóbbi valódi részhalmaza az előbbinek, így tuti kell lennie irracionális számnak is. Szívesen.