Jó a bizonyítás?

Én csak azt szerettem volna mondani, hogy a nyílt környezet, sorozat és határérték definiálása nélkül is lehet az állítást bizonyítani, úgy, hogy már egy ötödikes is megértse, ezért nem tetszik, hogy 12. osztályban tanult módszereket alkalmazunk. De ízlések is pofonok, kár hogy csak ez számít, hogy jó-e a bizonyítás, az ezek szerint mellékes. Bocsánat, hogy a lelki világodba gázoltam! A bizonyításod természetesen jó. (Ha elfogadjuk, hogy „bármely p valós számhoz létezik egy csak racionális számokból álló sorozat, amely p-hez tart”.)

A bizonyítás amúgy a folytonossági axiómák nélkül is működik, csak a rendezési, a testaxiómák és az arkhimédészi kell hozzá, mint azt én egy igencsak haszontalan válaszomban részleteztem. (A folytonosság ahhoz kell, hogy legyenek irracionális számok is, de ha véletlen nincsenek, az nem gond, akkor is bármely (a, b) intervallumra működik a bizonyítás, mint ahogy akkor is, ha vannak.)

> „akkor neked az marad, hogy nem tudod, miről beszélsz, de biztos úgy van, ahogy mondod, mert okos emberek azt mondták, illetve a cáfolhatatlan »hiszen látszik rajta«.”

Nem, én azért mondom, hogy biztosan úgy van, mert hivatkoztam egy axiómára, amiről úgy gondoltam, hogy elfogadjátok, és nem pedig azért, mert okos emberek ilyen meg olyan dolgokat mondanak. (Persze mást is elfogadhatunk, például „hogy minden a < b valós számokra az (a, b) intervallum tartalmaz racionális számot”, és akkor készen vagyunk, mert ezt nem kell bizonyítani, hanem így van. De erre már a 08:03-as válaszadó is utalt, bár a kérdező mondjuk nem ezt csinálta, így ezzel a kérdező bizonyítását nem cáfolja.)

Ha nagyon szigorúak vagyunk, akkor ezek valamelyikére kéne visszavezetni a bizonyítást (persze hogy a valós számok megfelelő testet alkotnak és rendezettek, az még kell, különben például átlagolni se tudnánk, mert nem oszthatunk 2-vel):

1. a valós számok minden nem üres részhalmazának, aminek van felső korlátja, van legkisebb felső korlátja is;

2. a Dedekind-axióma;

3. az arkhimédészi axióma és a Cauchy-axióma;

4. az egymásba skatulyázott zárt intervallumoknak van közös pontja;

5. egy monoton növekvő felülről korlátos sorozatnak van határértéke;

6. minden korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.

Tudom a bizonyítását annak, hogy ezek ekvivalensek, így lehet, hogy ezek valamelyikére kéne visszavezetni a dolgot. A 3.-ra például elég egyszerű, mint ahogy azt a lefitymált tényleg bizonyításomban megtettem. De ha a kedves 11:14-es tudja, hogy miről beszél, akkor ezek felhasználásával tudja bizonyítani a még igazolatlan állítását (miszerint „bármely p valós…”).

Nem jó a bizonyításod. Kimondatlanul föltetted, hogy n és m is legalább 2, ami nyílván nem igaz minden esetben. Ha pedig ezt nem kötjük ki, akkor a felosztásod sem lesz elég finom.

Tipp a bizonyítás javításához: ne a 0 jegyeket keresd, hanem az első olyan tizedesjegyet, ahol a és b különbözik. Innen már könnyű a kettő között lévő, véges tizedestörtet csinálni.

Tudom, hogy régi a kérdés, de hátha valakinek hasznos lesz a későbbiekben;

Legyenek a<b pozitív számok, illetve a lehet 0 is. Ha igaz, hogy b-a>=2, akkor az (a;b) intervallum biztosan tartalmaz egész számot, és egy ilyet tudunk is mondani: alsóegészrész(b-1) (a (-1)-re azért van szükség, mert ha b egész, akkor alsóegészrész(b)=b, ami nincs benne az intervallumban), tehát az állítás igaz.

Ha b-a<2, akkor biztosan létezik k pozitív egész szám, hogy k*(b-a)>=2, és egy ilyen k szám meg is határozható: k=felsőegészrész(2/(b-a)). Szorozzuk az (a;b) intervallum minden elemét ezzel a választott k pozitív egész számmal, ekkor az (a*k;b*k) intervallumot kapjuk. Ez azért jó, mert tudjuk, hogy nemnulla egész számmal szorozva egy másik racionális számot az eredmény racionális marad, irracionálisnál pedig irracionális, tehát ha egy a<=h<=b szám racionális volt, akkor k*h is racionális marad, ha pedig irracionális, akkor irracionális.

Mivel a k számot úgy határoztuk meg, hogy k*(b-a)>=2 legyen, ezért az (a*k;b*k) intervallum az első megállapítás alapján biztosan tartalmaz egész számot, és ezek közül az egyik biztosan alsóegészrész(b*k-1). Ha most visszaosztjuk az intervallum minden elemét k-val, akkor az (a;b) intervallumba az alsóegészrész(b*k-1)/k szám kerül, ami így racionális lesz, tehát az állítás igaz. Ha k helyére beírjuk a választott értékét, akkor az

alsóegészrész(b*felsőegészrész(2/(b-a))-1)/felsőegészrész(2/(b-a))

képletet kapjuk, amivel bármikor meghatározható egy, két pozitív szám közötti racionális szám (illetve akkor is, ha a=0).

Ha az a<b számok negatívak, illetve a negatív b pedig 0, akkor az (a;b) intervallum minden elemét csak megszorozzuk (-1)-gyel, így a (-b;-a) intervallumot kapjuk, amire a fenti bizonyítás már igaz lesz.

Ha pedig a negatív és b pozitív, akkor az (a;b) intervallum triviálisan tartalmazza a 0-t.

Ezzel a módszerrel az is belátható, hogy végtelen sok racionális számot tartalmaz bármelyik intervallum; az (a;b) intervallumban van racionális szám. Ezt az intervallumot felezzük meg, így kapunk két másik intervallumot, ami az (a ; (a+b)/2) és ( (a+b)/2 ; b) intervallumok lesznek. A fentiek alapján ezek külön-külön is tartalmaznak egy-egy racionális számot, tehát az (a;b) intervallumban két racionális szám is van. Mivel tetszőleges két különböző racionális szám átlaga is racionális és a két szám közé esik, ezért az (a;b) intervallum végtelen sok racionális számot is tartalmaz.